Las matemáticas al servicio de la investigación literaria

¿Es posible conocer la autoría de una obra literaria por las palabras y la frecuencia de uso de éstas que contiene? Esta es una pregunta recurrente entre los estudios de obras que nos han llegado hasta hoy como anónimas y de las que se sospecha una autoría que no ha podido ser confirmada por estudios historico-literarios tradicionales.

Dos matemáticos y un físico, DaríoBenedetto, Emanuele Caglioti y Vittorio Loreto de la Universidad deLa Sapienza en Roma, decidieron poner a prueba el algoritmo Lempel-Ziv como método de identificación de creadores literarios. Su objetivo era identificar a los autores de obras literarias. Noventa textos escritos por 11 autores italianos (entre ellos Dante Alighieri y Pirandello) sirvieron como material de base. Se elegía el texto de un autor determinado y se le unían dos pequeños textos de igual tamaño: uno del mismo autor y otro de un autor diferente. Se introducían estos archivos en un programa de compresión, como el popular WinZip, y los científicos comparaban cuánto espacio de almacenamiento necesitaba cada uno. Conjeturaron que la entropía relativa del texto combinado les daría una idea sobre la autoría del texto anónimo. Si ambos eran obra del mismo autor, el algoritmo necesitaría menos espacio de almacenamiento que si el texto adjunto estaba escrito por otro diferente. En el segundo caso, la entropía relativa sería mayor, dado que el algoritmo tendría que considerar los distintos estilos y palabras usadas por ambos autores. En consecuencia, necesitaría más espacio para almacenar el archivo. Cuanto más pequeño fuera el archivo comprimido de los dos textos combinados, más probable era que el texto original y el adjunto pertenecieran al mismo autor. Los resultados del experimento fueron francamente increíbles. Cerca del 95% de las veces los programas de compresión permitieron identificar correctamente al autor.

Seguramente embargados por la emoción del éxito de su nuevo enfoque, los tres científicos no se dieron cuenta, o al menos olvidaron mencionar en su bibliografía, que su método no era tan original como creían. De hecho, no fueron los primeros en pensar que los métodos matemáticos se podrían usar para atribuir textos literarios a sus autores. George Zipf, profesor de Lingüística en Harvard, ya había abordado temas como la frecuencia de palabras en 1932. Y el escocés George Yule había demostrado en 1944, en un artículo titulado Estudio estadístico del vocabulario literario, cómo había podido atribuir el manuscrito De imítatione Christi al conocido místico Tomás de Kempis, que vivió en los Países Bajos en el siglo XV. Y por supuesto, hay que mencionar los papeles federalistas del siglo XVIII, cuya autoría por parte de Alexander Hamilton, Iames Madison y Iohn Iay fue determinada por los estadísticos americanos R. Prederick Mosteller y David L. Wallace. 

Dado que todo les había ido tan bien, Benedetto, Caglioti y Loreto decidieron llevar a cabo otro experimento. Analizaron los grados de afinidad entre lenguajes diferentes. Dos lenguas que pertenezcan a la misma familia lingüística deberían tener una entropía(1) relativa baja. Por tanto, podría comprimirse de forma más eficiente una combinación de dos textos escritos en lenguas que estén emparentadas que dos que pertenezcan a familias diferentes. Los científicos analizaron 52 lenguas europeas. De nuevo, tuvieron éxito. Usando el programa de compresión, pudieron clasificar cada lengua en su grupo lingüístico correspondiente. El italiano y el francés, por ejemplo, tienen una entropía relativa baja y por tanto pertenecen a la misma familia. El sueco y el croata, por otro lado, tienen una entropía relativa alta y por tanto han de provenir de grupos lingüísticos diferentes. WinZip consiguió incluso identificar el maltés, el vasco y el húngaro como lenguajes aislados que no pertenecían a ninguno de los grupos lingüísticos conocidos. 

El estudio completo se puede consultar en. Dario Benedetto, Emanuele Caglioti, Vittorio Loreto, "Language Trees and Zipping", Phys. Rev. Lett., 88, 048702 (2002) 

(1)

Para entender la compresión de datos, es necesario familiarizarse con el concepto de entropía. En física, la entropía es una medida del desorden de un sistema, por ejemplo un gas. En telecomunicaciones, la entropía es una medida del contenido en información de un mensaje. Un mensaje que consista, por ejemplo, en 1.000 repeticiones del número 0 tiene muy poco contenido en información y una entropía muy baja. Se puede comprimir a la pequeña formula 1000x0 Por otro lado, una secuencia totalmente aleatoria de unos y ceros tiene una entropía muy alta. No se puede comprimir en absoluto, y la única forma de almacenar dicha secuencia es repitiendo todos sus caracteres. La entropía relativa indica cuánto espacio de almacenamiento se ocupa si una secuencia de caracteres se comprime, con un método que se había optimizado para una secuencia diferente. El código morse, concebido para el inglés, puede ser un ejemplo. La letra que aparece mas frecuentemente en inglés, la e, obtuvo el código mas corto: un punto. Las letras que aparecen menos obtienen códigos mas largos, por ejemplo <<—.-» para la -q-. Para otras lenguas, el código morse no es idóneo, porque las longitudes de los códigos no corresponden con la frecuencia de las letras. La entropía relativa mide entonces cuántos puntos y guiones adicionales se necesitan para transmitir un texto, digamos en italiano, con un código que esta pensado para el inglés. 

La mayoría de las rutinas de compresión de datos estén basadas en algoritmos desarrollados a finales de los años setenta por dos científicos israelíes del Technion en Haifa. El método que desarrollaron Abraham Lempel, informático, y de Jacob Ziv, ingeniero electrónico, se basa en el hecho de que en un archivo aparecen secuencias idénticas de bits y bytes. La primera vez que una secuencia aparece en el texto, se introduce en una especie de diccionario. Cuando vuelve a aparecer la misma secuencia, un marcador señala el lugar adecuado del diccionario. Dado que el marcador ocupa menos espacio que la secuencia, el texto se comprime. Pero aún hay mas. La distribución de la tabla que lista todas las secuencias no sigue las reglas de clasificación de un diccionario normal, si no que se adapta al archivo en concreto que queremos comprimir. El algoritmo <<aprende>> a distinguir qué secuencias aparecen mas a menudo y adapta la compresión a ellas. Cuando el tamaño del archivo aumenta, el espacio necesario para almacenarlo crece hacia la entropía del texto.

Fuente: La vida secreta de los números. GEORGE G. SZPIRO, ALMUZARA, 2009 ISBN 9788492573288


Este artículo es mi primera colaboración con la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Ciencia Conjunta.

Cosas todos deberíamos saber sobre los transgénicos

¿Sabías que la insulina es un transgénico? ¿O que el algodón con el que te curas las heridas también es un producto transgénico? La mala fama que tienen los transgénicos, es el resultado de una ardua campaña de descrédito hacia estos basada en una fuerte desinformación de qué son en realidad, como son tratados y que controles pasan.

Echa un vistazo a estos dos videos cortitos, pero claros, respecto a qué son los transgénicos y el por qué de su injusta demonización.

J. M. Mulet (Denia, 1973), es licenciado en Química por la Universidad de Valencia (1996) y doctor en la especialidad de Bioquímica y Biología Molecular (2001). De 2003 a 2006 trabajó en el Biozentrum de la Universidad de Basilea (Suiza). Desde 2008 es profesor de Biotecnología en la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) y dirige el laboratorio de crecimiento celular y estrés abiótico del Instituto de Biología Molecular y Celular de Plantas, centro mixto del CSIC y de la UPV. Ha publicado diversos artículos tanto de investigación en revistas científicas como de divulgación. Es autor del blog Los productos naturales ¡vaya timo! (losproductosnaturales.blogspot.com).

Bonus track:

La prueba matemática de Gödel de la existencia de Dios

Kurt Gödel es, sin duda, uno de los más importantes matemáticos del S.XX. Su principal campo de trabajo fue la lógica y la teoría de conjuntos, siendo especialmente reconocido y recordado a nivel matemático por sus dos Teoremas de Incompletitud. 

 

Kurt Gödel

 

En 1970 distribuyó entre sus colegas de profesión una prueba en la cuál mediante argumentaciones lógico-matemáticas probó la existencia de Dios. Esta es su demostración:

• Axioma 1. (Dicotomía) Una propiedad es positiva si, y sólo si, su negación es negativa.

• Axioma 2. (Cierre) Una propiedad es positiva si contiene necesariamente una propiedad positiva.

• Teorema 1. Una propiedad positiva es lógicamente consistente (por ejemplo, existe algún caso particular).

• Definición. Algo es semejante-a-Dios si, y solamente si, posee todas las propiedades positivas.

• Axioma 3. Ser semejante-a-Dios es una propiedad positiva.

• Axioma 4. Ser una propiedad positiva (lógica, por consiguiente) es necesaria.

• Definición. Una propiedad P es la esencia de x si, y sólo si, x contiene a P y P es necesariamente mínima.

• Teorema 2. Si x es semejante-a-Dios, entonces ser semejante-a-Dios es la esencia de x.

• Definición. NE(x): x existe necesariamente si tiene una propiedad esencial.

• Axioma 5. Ser NE es ser semejante-a-Dios.

• Teorema 3. Existe necesariamente alguna x tal que x es semejante-a-Dios.

 

 

En notación matemática esta prueba es la siguiente:

 

Prueba ontológica de Gödel

Gödel basa su argumento en las reflexiones de San Anselmo. Este define a Dios como el ser más grande en el universo. Nada hay más que se pueda imaginar. Por el contrario, si Dios no existiera, entonces un ser superior de alguna forma tiene que existir, las cosas no se crearon de la nada hace millones de años. Como no fue posible explicar eso, entonces por definición, Dios tuvo que existir. Solo que no es el Dios que todos tenemos en mente, solo la energía pura que nos rodea.

 

¿Cómo se puede enjuiciar una demostración tan abstracta? Muchos lógico-matemáticos no han sido capaces de explicar todos los aspectos de la prueba, y por lo tanto es muy difícil asegurar su completa naturaleza. ¿Es esta demostración el resultado de una meditación profunda, o es el desvarío de un lunático? (Gödel en la parte final de su vida sufrió importantes trastornos mentales) Los méritos académicos de Gödel son  impresionantes. Gödel es principalmente famoso por su teorema que demuestra que debían existir fórmulas verdaderas en las matemáticas y en la lógica para las cuales no era posible demostrar su verdad ni su falsedad, convirtiendo de este modo las matemáticas en un sistema incompleto.

Fuente: La maravilla de los números Capítulo 16 Clifford A. Pickover Ediciones Robinbook

Esta entrada retoma las colaboraciones del blog con el Carnaval de Matemáticas que celebra su edición 2.5  siendo el anfitrión Juegos topológicos.

*Axioma: Premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa.
*Teorema: Afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal.
*Definición: Proposición que trata de exponer de manera unívoca y con precisión la comprensión de un concepto o término.

Como todos sabemos Homer Simpson demostró la no existencia de Dios. pena no tener acceso a sus papeles ;-)

Tesla, el extraterrestre

Nikola Tesla es sin duda uno de los más grandes científicos de todos los tiempos por sus importantes contribuciones en muchos campos de la ciencia. Genial y excéntrico a partes iguales, no gozó en su tiempo de toda la fama que merecía debido a la cantidad de controversias que tuvo por sus trabajos, su origen extranjero en EE.UU. y a la escasez de fondos con los que contó. Pero su enorme inteligencia, sus avances y descubrimientos no pasaron desapercibidos para muchos de sus coetáneos. Algunos de ellos viendo la extraordinaria inteligencia que poseía Nikola Tesla, no dudaron en afirmar que este era extraterrestre y así lo publicaron en varios medios, idea que llegó a cuajar en buena parte de la población de principios del S.XX.

Nikola Tesla

En 1899 Tesla fue a Colorado Springs y montó un laboratorio en las montañas para estudiar los efectos que creaban los relámpagos así como la posibilidad de predecirlos. Desarrolló el que luego ha sido conocido como Teslascopio. Una torre con la que se recogían señales de radio que recibía del espacio exterior. Una noche de 1901, se quedó trabajando hasta tarde y olvidó apagar el receptor que para tal fin había diseñado. El dispositivo comenzó a captar ruidos extraños. Señales estáticas, señales de radio. Cuando Tesla relató en marzo de 1901 la historia en un artículo en el semanal Coollier' s Weekly, afirmó que esto demostraba que había vida inteligente en el espacio exterior, que los marcianos se habían comunicado con nosotros. Debido a la enorme fama y respeto como científico que tenía Tesla en esa época, sus palabras fueron tomadas en consideración, y pocos fueron los que dudaron de ellas.

Laboratorio de Nikola Tesla en Colorado Springs

Estas fueron sus palabras en el semanal:

“Cuando yo estaba mejorando mis máquinas para la producción de intensas acciones eléctricas, también perfeccionaba los medios para observar débiles esfuerzos. Uno de los resultados más interesantes, y también uno de gran importancia práctica era el desarrollo de ciertas invenciones para indicar a distancia de muchos cientos de millas una tormenta que se acerca, su dirección, velocidad y distancia viajada. Fue continuando este trabajo que por primera vez descubrí aquellos misteriosos efectos que habían provocado tal interés inusual. Había perfeccionado el aparato referido hasta ahora, que desde mi laboratorio en las montañas de Colorado. Yo pude sentir el pulso del globo, como era, notando cada cambio eléctrico que ocurría dentro de un radio de mil cien millas. Jamás podré olvidar las primeras sensaciones que experimenté cuando se me aclaró que había observado algo, posiblemente de incalculables consecuencias para la humanidad. Sentí como si estuviera presenciando el nacimiento de un nuevo conocimiento, o la revelación de una gran verdad. Mis primeras observaciones me aterraron positivamente, ya que en ellas estaba presente algo misterioso, por no decir sobrenatural, y yo estaba solo en mi laboratorio por la noche; pero en ese tiempo la idea de que estos disturbios fueran señales inteligentemente controladas todavía no se me presentaba. Los cambios que noté estaban teniendo lugar periódicamente y con tan clara sugerencia de número y orden que no eran rastreables a ninguna causa conocida para mi. Yo estaba, por supuesto, familiarizado con tales perturbaciones eléctricas como son producidas por el sol, las Auroras Boreales y las Corrientes terrestres, y estaba seguro, como podría estarlo ante cualquier hecho, que estas variaciones no se debían a ninguna de estas causas. La naturaleza de mis experimentos impidió la posibilidad de los cambios que estaban siendo producido por disturbios atmosféricos, como ha sido acertado a la ligera por algunos. Fue algún tiempo después, cuando el pensamiento destelló en mi mente, que los disturbios que había observado podrían ser debido a un control inteligente. Aunque no podía descifrar su significado, era imposible para mi pensar en ellos como que hubieran sido enteramente accidentales. La sensación está creciendo constantemente en mi, de que yo he sido el primero en escuchar los saludos de un planeta al otro. Un propósito estaba detrás de estas señales eléctricas.”

Tesla con uno de sus múltiples inventos

 
El propio Lord Kelvin quién en esas fechas era uno de los más afamados y respetados científicos del mundo, aseveró que aquello era uno de los mayores descubrimientos científicos de todos los tiempos. Poco después, uno de los periodistas y novelistas con mayor eco de finales del S.XIX y principios del S.XX Julian Hawthorne (hijo de Nathaniel Hawthorne autor de La letra escarlata) escribió un articulo sobre Tesla en una de las revistas con mayor tirada nacional en EE.UU. Decía que la mente de Tesla era tan avanzada que no era posible que fuera humano. Había nacido en otro planeta (Venus) y había sido enviado a la Tierra en una misión especial para enseñarnos los secretos de la naturaleza, para revelar a la humanidad los caminos que para esta había diseñado y previsto Dios. Aún con lo disparatado del artículo, debido a la credibilidad que se daba a las palabras de Hawthorne por su trayectoria como periodista, este artículo fue tomado en serio. Muchos así lo creyeron y, aún ahora muchos años después, hay miles de personas que así lo creen. Existe una especie de secta en California que venera a Tesla como extraterrestre.

Artículo de 1901 en el que se hace referencia a su posible origen extraterrestre en The Times

Biografía y obra de Nikola Tesla

Ruth Norman, una de los fundadores de Anarius Academy of Science años después de la muerte de Tesla, seguía manteniendo esta excéntrica teoría.
 


Fuentes: Collier's Weekly, February 19, 1901, page 4-5: 

El palacio de la luna; Paul Auster

Las cuentas en las ofertas Carrefour no cuadran

Carrefour de Talavera de la Reina, sección de refrescos. Las latas de Coca Cola de 33 cl están de oferta en un pack de 24 unidades en las que te regalan 2 de ellas. Es decir pagas 22 y te llevas 24. 

Esos 12,15€ corresponden a 22 latas de refresco, por lo tanto cada unidad vale  12,15 / 22 = 0,5522. Obviamente este precio debe coincidir con el precio de las latas de forma unitaria.

Algo falla, los valores unitarios no son los mismos. Si realmente en la oferta nos regalasen dos latas del refresco totalmente gratis, el precio del pack de 24 Coca Colas debería ser de 0,52 x 22 = 11,44€.

Es decir, el precio debería ser 12,15 - 11,44 = 0,71€ inferior. Por lo tanto no nos están regalando en ningún momento las 2 latas que dicen en ese pack. 

Están ofreciendo un descuento de 0,52 x 2 = 1,04€ cuando en verdad el descuento es de 1,04 - 0,71 = 0,33€.

Vale que aún así nos sale más barato comprar las 24 Coca Colas en el pack (0,52 x 24 = 12,48)  que las 24 sueltas, pero eso es claramente publicidad engañosa. El descuento real no es el indicado en la oferta

Resumen de la IX edición del Carnaval de Matemáticas

No es posible que existan números carentes de interés, pues, de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés.

Martin Gardner

Palabras como estas del recientemente fallecido Martin Gardner adquieren todo su significado en iniciativas como esta que tengo el honor de acoger este mes. 39 interesantes colaboraciones en torno a los números, a las matemáticas. 39 de ejemplos de cómo hacer atractivas, amenas e interesantes las tantas veces injustamente denostadas matemáticas.

Creo que  propuestas como este Carnaval ponen  el granito de arena necesario desde internet para que las dudas, el recelo y el rechazo hacia las matemáticas se conviertan en interés, atracción y curiosidad por ellas.

Paso al resumen por orden cronológico de aportación de los artículos participantes en el IX Carnaval de matemáticas en Castellano.

Lunes 13 de diciembre:

- Inaugura las colaboraciones en esta edición del carnaval nuestro anterior anfitrión: Los matemáticos no son gente seria, que en esta ocasión nos da a conocer a uno más de los grandes matemáticos castellano-manchegos que por desgracia son poco conocidos: Matemáticos de la Mancha IV Miguel de Quirós

- Tito Eliatron nos ofrece una bella reflexión de cómo han trabajado a lo largo de los siglos los matemáticos. La reflexión acerca de cómo tratar los errores para aprender de ellos, es del grupo de matemáticos conocidos como Nikolas Bourbaki: Derecho a la serenidad

- En estas fechas no podía faltar una relación entre la navidad y las matemáticas. Esta nos la trae Rafalillo desde su mundo. Nos explica como a pesar de que todos los copos de nieve son distintos, la mayor parte de ellos comparte una misma estructura: El copo de nieve de Koch y la relación de este con los números fractales. Nieve matemática

- ¿Todavía no hemos hablado de las matemáticas en su relación con el cine? No hay problema, Javier Omar, en su blog La covacha matemática, nos invita a ver el guiño que hace a una de las películas más famosas de los últimos tiempos, desde una óptica matemática. Carta a Buzz Lightyear 

- Clara nos invita a descubrir desde sus seis palabras las matemáticas que hay detrás de la estabilidad de los matrimonios. Un problema estudiado desde hace mucho tiempo y que como no podría ser de otra manera, las matemáticas nos ayudan a comprender mejor. Aunque como ella bien dice, mucho mejor que ayude el amor que no un algoritmo. El problema del matrimonio estable

- Antonio Roldán nos acerca al mundo de la probabilidad en sus Números y hojas de cálculo a través de un problema que hará mucho más atractiva esta rama de las matemáticas a muchos no aficionados. Un problema de probabilidad aplicada al fútbol. ¿Cuántas historias puede tener un partido del que sólo conocemos el resultado? ¿quieres saber como se puede representar? Historias de un tanteo I

Martes 14 de diciembre

- ¿Ayudamos a Ana de la Fuente a encontrar cuantos pitufos han ido con Pitufina al bosque? Este interesante problema nos lo plantea en Tierra a la vista: Va de pitufos vamos a echarla una mano con nuestras aportaciones.

- Esta vez es Claudio el que reclama nuestra ayuda para poder resolver un problema que nos presenta en Números y algo más. Tenemos que ayudarle a encontrar varios números cuyos cuadrados cumplan distintas condiciones. Cuadrados con dígito común

- En La aventura de las matemáticas,  Jesús Soto, nos acerca una historia de un héroe maya que nos describe como se relacionan los conceptos de inmensidad e infinito y de como se relaciona el conocimiento y la emoción en los distintos órdenes de la vida; su nombre: Canek

- Gaussianos tampoco falta a su cita con el Carnaval y nos desvela toda la historia que hay detrás del nombre de Nicolas Bourbaki. Este nombre nos sonará ya del artículo colaboración de Tito Eliatrón. Gaussinos desvela que impulsó y que objetivos perseguían todos los grandes matemáticos que decidieron unirse y formar un grupo de trabajo detrás de ese nombre.Nicolas Bourbaki: los tentáculos del “matemático”

Miércoles 15 de diciembre

- Como no podía faltar en cualquier edición del Carnaval también en esta tenemos recomendaciones de libros relacionados con las matemáticas. En esta ocasión es Patxi Tapiz, quién en su blog Letrinas nos recomienda el libro especialmente dirigido para el público juvenil, aunque de gustosa lectura para adultos Números pares, impares e idiotas, escrito por Juan José Millás y con ilustraciones de Forges.  Los números, esos personajes 

- Apuntes matemáticos nos propone como colaboración, el uso de las matemáticas para determinar donde debe realizarse un torneo cualquiera dentro de un país, en este caso su país Argentina. El resultado es el que más o menos todos imaginamos, aunque mucho mejor ver la demostración: Torneo de ajedrez

- Javier Omar nos hace otra aportación en su Covacha matemática. Nos invita a conocer las diferencias entre los mapas conceptuales y los flujos gramas a través de varios ejemplos, así como nos muestra  unos mapas conceptuales matemáticos que serán de utilidad para resumir los temas: Ferretería Matemática: los mapas conceptuales en la enseñanza matemática

- Víctor Antonio Aguilar Arteaga invita a realizar un repaso a los números primos. Aunque sean unos grandes conocidos, no lo son tanto todos sus métodos de cálculo, las diferentes peculiaridades de cada uno de ellos, y cómo a lo largo de la historia de las matemáticas muchos de los eruditos en esta materia han contribuido a desentrañar sus muchas peculiaridades. Todo ellos lo describe en Rescoldos en la trébede:  Algunos tipos de números primos

-  Patxi Tapiz vuelve a la carga con su segunda colaboración en este Carnaval de matemáticas en su blog Letrinas. Ahora lo hace con un artículo dedicado al gran Alan Moore, jugando con los números y descubriendo divertimentos como el de la serie que nos presenta: Jugando con los números

Jueves 16 de diciembre 

- ¿Te acuerdas como se hacía una raíz cuadrada con lápiz y papel? A la mayoría se nos ha olvidado desde el colegio. Pero eso tiene una solución, J M Vázquez desde Mates y + nos propone un método de aproximación para el cálculo de estas a través de un sencillo método al alcance de todos: Cálculo de raices cuadradas: Método del valor medio

- El último Teorema de Fermat ha sido uno de los problemas más estudiados desde que lo enunciase hace más de 300 años. Barcedavid, desde su blog Ciencia, contribuye a este carnaval con un artículo en el que nos muestra como el matemático Andrew Wiles lo demostró en 1995 con una elegante y complicada demostración. ¿Quieres saber como lo hizo? El desafío del último Teorema de Fermat que ni el diablo pudo resolver

- Tampoco podían faltar las informaciones sobre interesantes proyectos para la investigación sobre la enseñanza de las matemáticas en la Educación Infantil y la Educación Primaria. Desequilibros nos muestra en su blog Desequilibros este interesante proyecto: Matematica para la Educación Primaria iniciado por Ana Millán Gasca, dirigido tanto a alumnos como a docentes: Matemáticas para la educación primaria

- Manoli en su blog Viaje a Ítaca con Manoli, nos acerca una interesante reflexión sobre el estado de la educación una vez fueron publicados los datos del informe PISA. Además nos acerca un fragmento del programa Redes con una también interesante reflexión: Pacto por la Educación, Informe Pisa 2009, bla, bla, bla,... 

- ¿Y que hay de la relación de las matemáticas con el arte? Tampoco podían faltar como en anteriores ediciones. Lullaby, nos enseña en su blog Lullaby-oz cómo se relacionan las pinturas del controvertido pintor Pollock con los fractales y todos los estudios llevados a cabo sobre su obra desde una óptica matemática. Interesante artículo: Pollock: la casualidad fractal

- Ahora nos paramos a pensar en un ejemplo de matemáticas aplicadas al día a día, que nos trae Eliatrón en su segunda colaboración. Podemos ver en su artículo los problemas que se podrían dar al introducir el infinito, aunque sea numerable, en unas cuentas finitas. El mundo infinito y el sueldo medio

-  Otro de los anfitriones de pasadas ediciones, Sangakoo nos invita a ver en su blog Sangakoo la historia, particularidades y métodos de medición y cuantíficación, porque ¿No sería para lo primero que se utilizaron las matemáticas, nada más que para cuantificar y medir? Medir y cuantificar

- Tomamos ahora como partida a uno de los grandes matemáticos del S.XX ,Paul Erdös, para mostrar aparte de su interesante biografía como su figura ha servido para que otros matemáticos hayan descrito el número de Erdös, que señala los grados de separación que tiene cualquiera que haya publicado un artículo de investigación en las matemáticas con el genial matemático húngaro. Esto lo podemos ver en el blog Rescoldos en la trébede: El número de Erdös ¿que grado de separación tenemos con el gran matemático? 

- Antonio Roldán publica en Números y hojas de cálculo la segunda parte de su artículo para el cálculo y le representación de las posibles historias que puede tener un partido de fútbol hasta llegar a un marcador determinado: Historias de un tanteo II

- Otra recomendación literaria más tenemos en esta edición del carnaval. Amtispan en su blog Amtispan site nos recomienda leer Historia de las matemáticas de Richard Mankiewicz, con cuya lectura está disfrutando: Historia de las matemáticas

 Viernes 17 de diciembre


- Volvemos a poner nuestra mente en marcha para intentar resolver el acertijo que nos plantea Iván Skvarca en su blog Juegos de ingenio. ¿Le ayudamos a comprobar si existen más filas con las características que tienen las filas anteriores? Fila equilibrada

-  Joaquin García nos través a través i-matemáticas la presentación del  plan Proyecto integrado. Interesante iniciativa llevada a cabo a través de la asignatura matemáticas manipulativas que actualmente se imparte en 4º ESO del instituto donde es profesor. Una experiencia a tener en cuenta por cualquier docente que quiera hacer más atractivas las matemáticas en especial en tan cruciales edades de la enseñanza. Matemáticas manipulativas

- La siguiente aportación nos la acerca también Javier Omar desde su Covacha matemática. En este caso vamos a relacionar matemáticas, cine y literatura a través de uno de los libros y uno de los personajes que más adeptos tienen en todo el mundo. Harry Potter es una una buena manera de acercar a los más pequeños (y no tan pequeños) a la curiosidad por los número: El número de Harry Potter 


- A dos días de celebrarse el anual sorteo de la lotería de navidad es buen momento para calcular las probabilidades que tenemos de que nos toque. Eliatron nos acerca este cálculo de probabilidades a través del blog Amazings:  Lotería: La esperanza no es lo último y, además, se pierde

- Retomamos a los grandes genios de las matemáticas del S.XX, esta vez Albert Einstein. César en su blog Experientia Docent. A través de una de las más famosas fotografías del genio alemán, en la que está escribiendo en una pizarra, podemos explorar someramente la idea de curvatura y cómo expresarla usando una herramienta matemática tremendamente útil en física, los tensores: Einstein y...la pizarra del Observatorio del Monte Wilson

- La segunda aportación de Barcedavid desde su blog Ciencia, nos acerca al Perú de la época precolombina, más concretamente a las montañas sagradas de nieves perpetuasen los Andes. Podemos ver como fue utilizada la geometría euclídea en la búsqueda de uno de los mayores tesoros legendarios que se decía ocultaban los habitantes de la zona en tan recóndito paraje. ¿quien se anima a hallar teóricamente el gran tesoro del último emperador Inca?: Geometría euclidiana para dar con el tesoro perdido de Atahualpa; El último de los emperadores incas 

Sábado 18 de diciembre

- Uno de los conceptos que pueden resultar más difícil de entender dentro de las matemáticas es el de relación de equivalencia. En El máquina de Turing Javi Oribe (otro de los anfitriones de pasadas ediciones de este carnaval), a través de varios ejemplos, nos invita a ver cómo en realidad esta relación de equivalencia es un concepto mucho más sencillo de lo que en principio parece. Desde cómo organizar un cajón de calcetines hasta una aplicación concreta y matemática dentro de un conjunto de números enteros. Relaciones de equivalencia o como lograr que 2+2 sea 1

- En Juan de Mairena [v.2.71828], Juan Pablo nos propone un problema de probabilidad a través de una encuesta. ¿Le ayudamos con las dos preguntas que plantea en cuanto a intenciones de voto? 1595.- Problem(it)a: encuesta paradójica - CdM IX

 - Retomamos la historia de las matemáticas y de los grandes matemáticos con uno delos más grandes que no podía faltar en cualquier cita con las matemáticas: Gauss. Milhaud, autor de Recuerdos de Pandora, nos introduce en la vida y obra de Carl Friedrich Gauss y nos encontramos con uno de los primeros grandes problemas resueltos por el matemático alemán. Él fue capaz de construir el heptadecágono respetando las normas griegas. El día que Gauss decidió convertirse en matemático.

- Carlos Angosto en su blog Zurditorium nos relata la curiosa historia de Igor Tamm físico y matemático ruso que obtuvo el Premio Nobel de Física en 1958 y cómo este logró salvar su vida en plena revolución rusa gracias a su conocimiento matemático. En concreto fue su saber sobre los de desarrollos de Taylor. ¿Quieres conocer esta este pasaje de su vida completo? Salvando la vida gracias a las matemáticas

- Seguimos dentro de a historia y biografía de los grandes matemáticos para acercarnos esta vez a Adrien Marie Legendre. Esta es la primera aportación al carnaval de Emulenews en el blog La ciencia de la mula Francis. Podemos ver en este artículo lo que hoy en día se podría calificar como excentricidad, ya que Legendre se negó a ser retratado en vida, por lo que durante muchos años la imagen que se tenía de él en realidad pertenecía a otra persona con la que sólo compartía el apellido. ¿Quieres saber cual es la probable imagen real de este matemático? La búsqueda del verdadero retrato del matemático Adrien Marie Legendre

- No nos movemos de La ciencia de la mula Francis ya que en esta ocasión nos detenemos en la vida de uno de esos grandes matemáticos que no han llegado a tener el reconocimiento que por la calidad de sus investigaciones deberían haber tenido.  Emulenews nos acerca a la vida de János Bolyai, promesa de las matemáticas francesas hasta que se cruzó en su camino Gauss. ¿Quieres saber que pasó para que Bolyai acabase siendo militar de carrera? János Bolyai, el prodigio de las matemáticas que las abandonó por el despecho de Gauss

-  Seguimos nuestro paseo por la historia de las matemáticos para retroceder casi 2000 años y pararnos en la Grecia clásica. Cendrero, administrador del blog El busto de Palas, nos hace una interesante reseña de los principales matemáticos de esta época que retrató Rafael Sanzio en el famosísimo cuadro La escuela de Atenas ¿Quieres saber quienes eran? Los matemáticos en la escuela de Atenas

- Las más importantes curvas que se usan actualmente en el diseño computacional son las curvas de Bézier y los B-Splines. Rafael Miranda desde Chile en Geometría dinámica nos acerca al estudio y aplicaciones de este tipo de curvas, tan usadas en la actualidad. para saber más de ellas, cómo se construyen y la historia de los dos matemáticos franceses que las dan nombre: Las curvas de Bézier 

Estas han sido todas las aportaciones al IX Carnaval de matemáticas en castellano. Un total de 39 colaboraciones en todas las ramas de las matemáticas. Problemas, acertijos, historia, curiosidades, demostraciones, teoría de las matemáticas... en resumen DIVULGACIÓN de las Matemáticas. Agradezco desde aquí a todos los que han participado el tiempo dedicado en querer compartir con todos estos artículos que aquí están reflejados en un breve resumen.

Como hemos visto esta es la novena edición del Carnaval, si alguien quiere seguir profundizando en muchos más artículos como los presentados aquí. ¿Qué mejor manera que echar un vistazo a las 8 ediciones anteriores?

• Primera Edición(15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit.
• Segunda Edición (15/03/2010) en Juan de Mairena (Parte 1 y Parte 2).
• Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica.
• Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium.
• Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid.
• Sexta Edición (27/09/2010) en el Blog de Sangakoo.
• Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing.
• Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria.

Ya no me queda más que volver a agradecer a todos la participación y todo lo que me habéis hecho aprender pasando el testigo a La ciencia de la mula Francis, anfitrión del X Carnaval de Matemáticas en castellano.

El número de Erdös: ¿Qué nos separa del gran matemático?

Todos conocemos en mayor o menor medida la teoría de los seis grados de separación. Esta nos dice que estamos relacionados con cualquier persona del mundo por tan sólo seis personas. Es decir, entre nosotros y cualquier otro habitante del planeta hay un determinado número de conocidos intermedios que nos conectan. En concreto 6,6. Esta teoría fue enunciada a mediados de la década de los 50 por los matemáticos estadounidenses Ithiel de Sola Pool y Manfred Kochen y demostrada empíricamente por el psicólogo Stanley Milgram.

Teoría de los 6 grados de separación

En el mundo matemático existe otro número, que guarda relación con esta teoría, y sirve para designar los grados de separación que tiene cualquier matemático con uno de los grandes matemáticos y de la historia y quizás el más importante del S. XX. El número de Erdös. ¿Por qué Erdös? Porque a lo largo de sus casi 70 años dedicados a las matemáticas, publicó más de 1500 artículos matemáticos, siendo el segundo autor más prolífico de la historia tras el genio Leonhard Euler. 

Paul Erdös (1913-1996) fue matemático desde niño hasta que murió. De origen judío y carácter vagabundo, nunca se interesó por las cuestiones materiales, centrándose única y exclusivamente en los asuntos matemáticos. Viajaba alrededor del mundo de casa en casa de otros matemáticos para compartir conocimientos con estos y aprender todo lo posible de ellos. Una vez creía que ya había absorbido todo lo posible de cada uno, preparaba la escasa maleta que siempre lo acompañaba y emprendía camino a la casa del siguiente matemático, quién lo esperaba con las manos abiertas al encontrarse ante uno de los mayores genios contemporáneos de las matemáticas. Rechazaba los premios que le eran concedidos, así como todos aquellos regalos con que le obsequiaban. Otras veces este dinero lo dedicaba a la filantropía o a dotar de premios en metálico a quién resolviese los problemas que él planteaba. Sus colegas se encargaban de él y de todas sus necesidades: le buscaban alojamiento, gestionaban sus finanzas, le alimentaban, le compraban ropa y hasta pagaban sus impuestos. A cambio, él los alimentaba con nuevas ideas y retos, con problemas por resolver y brillantes maneras de abordarlos.

Paul Erdös

Y ahora bien, ¿cómo se puede tener un número de Erdös? Fácil, se debe haber colaborado directamente con él, o haber trabajado con alguien que halla hecho con él. Es decir, para que a una persona se le pueda asignar un número Erdős, ésta debe de haber co-escrito un trabajo matemático con un autor con un número Erdős finito. Paul Erdős tiene un número Erdős de cero. Si el número Erdős más bajo de un coautor es X, entonces el número Erdős del autor es X+1. Los 509 colaboradores directos que tuvo a lo largo de su vida tienen un número Erdös igual a 1. Los matemáticos que hubiesen colaborado con ellos (pero no con Erdős mismo) tiene un número Erdős de 2 (6,984 personas), aquellas personas que han colaborado con gente que tiene un número Erdős de 2 (pero no con Erdős mismo, ni con alguien con un número Erdős de 1) tienen un número Erdős de 3, y así sucesivamente.

Obviamente hay ambigüedades a la hora de asignar un número de Erdös. Para ello se ha creado una página web "Proyecto de número de Erdös" en el que podemos comprobar cuál sería nuestro número o contrastar cuál posee cualquier investigador de las matemáticas que queramos. Los que no tenemos ninguna conexión con coautores de la cadena de Erdös poseemos un número de Erdös indefinido o infinito. Para ver si cumplimos con las condiciones para que se nos asigne este número los creadores de este proyecto definen la siguiente norma según el sitio web (donde puedes comprobar tu número Erdös) del Proyecto de Número de Erdős: "Nuestro criterio para la inclusión de un rango entre vértices u y v es alguna investigación colaborativa entre ellos, teniendo como resultado un trabajo publicado. Cualquier número de co-autores adicionales es permitido". Este proyecto no incluye para el cálculo publicaciones que no sean de índole investigadora, como pueden ser obituarios, libros de texto y demás publicaciones en este sentido.

Número de Erdös del gran matemático recientemente fallecido Martin Gardner

La mayoría de los matemáticos en activo hoy en día tienen un número de Erdös por debajo de 8 (la media está en 4.65). Este no pasa de ser un asunto lúdico de los que gustan a los  matemáticos, pero tiene sus sorpresas. Tras el estudio de los números de Erdös de personalidades en el mundo de la ciencia y tecnología se ha podido comprobar que muchos premios Nobel e incluso Bill Gates, tienen números de Erdös muy bajos. Bill Gates tiene un número de Erdös igual a 4, Andrew Willes, el que consiguió demostrar el último teorema de Fermat lo tiene igual a 3; Einstein lo tenía igual a 2, e Ilya Prigogine igual a 6. El lingüista Noam Chomsky tiene un número de Erdös de 4...etc.

Buen libro con biografía y curiosidades sobre Erdös y su número

Se puede consultarla relación de matemáticos y científicos con número de Erdös igual o menor que 3 en la siguiente lista.

Este artículo contribuye a la IX edición del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión tengo el honor de  ser anfitrión. Anímate.

Fuente: "El prodigio de los números" Clifford A. Pickover. Biblioteca desafíos matemáticos. RBA Editores

Algunos tipos de números primos

Los números primos han intrigado a los matemáticos (y no matemáticos) por más de 2500 años; y es que su comportamiento dentro de los números naturales es algo que hasta nuestros días sigue siendo un misterio.

No es de extrañarse que el gran el matemático húngaro Paul Erdös, dijera en una ocasión: "Quizá Dios no juega a los dados con el universo, pero algo raro sucede con los números primos".

Los números primos son números naturales que solo son divisibles por el uno y por si mismos, es decir, que cuando dividimos un número primo por un número distinto de el mismo y del uno, obtenemos un número que no es un entero.

Los primeros números primos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

(Desde el siglo 18 se ha convenido en no considerar al uno como número primo).
Muchas preguntas pueden hacerse acerca de los números primos, tales como:

• ¿Cuántos números primos existen?

• ¿Cómo están distribuidos los números primos?

• ¿Hay alguna fórmula que produzca números primos?

Al correr de los años, muchos matemáticos han intentado dar respuesta a este tipo de preguntas y a muchas más concernientes a la Teoría de Números, y en su búsqueda, encontraron números primos que comparten ciertas características y que por alguna extraña razón, ahora reciben el nombre de sus descubridores.

Por este tipo de números podemos encontrarnos con los primos más famosos como los Primos de Fermat y a los Primos de Mersenne, pero también a otros no tan famosos como los Primos de Wieferich y los Primos de Wagstaff.

Discutamos brevemente algunos de estos tipos de números primos.

1. Primos de Fermat

Pierre Fermat fue lo que se conoce como un matemático aficionado que nació en Francia en 1601. Hoy en día es conocido como el padre de la Teoría de números y el Rey de los aficionados.
Fermat, como era su costumbre, conjeturó que todos los números naturales de la forma:

con -n- un número natural, eran números primos.

La afirmación de Fermat es cierta para los números n 0, 1, 2, 3 y 4. Ya que

son efectivamente números primos.

El enunciado quedo como conjetura hasta que en 1732 Euler probó que F5 es divisible por 641, esto es,

Con esto se demostró que la conjetura realizada por Fermat era falsa.

Hoy en día los números son llamados números de Fermat y únicamente se conocen los primeros 5 números de Fermat (escritos arriba y que ya conocía Fermat) como números primos.
La cuestión más importante por resolver es quizá: ¿Solo los números 3, 5, 17, 257 y 65537 son primos de Fermat? ó ¿existen más? Y en tal caso ¿Cuántos más? ¿5, 20, 1000 o una infinidad?
Se ha conjeturado que solo existe un número finito de primos de Fermat, sin embargo, también se ha conjeturado que existe una infinidad de estos primos.

2. Primos de Mersenne

Mann Mersenne fue un filósofo francés contemporáneo de Fermat y que mantuvo correspondencia con él.
Mersenne al estilo de Fermat, conjeturo en 1644 en su obra Gogitata PhysicoMathematica que Mn = 2^n -1 es un número primo cuando

y que no es primo para algún otro n menor a 257. Esta lista es muy interesante, ya que números como

son extremadamente grandes.
La pregunta que la mayoría se hace es: ¿Cómo le hizo Mersenne para hacer tales observaciones?, pues en su tiempo no había algún buen método para decidir si un número muy grande es primo o no.

Pese a lo buena que parezca la conjetura, la lista dada por Mersenne tenfa algunos errores que fueron demostrados finalmente 300 años después por A. Ferrier en 1947.

Los errores son los siguientes: 

i) Los números M67 y M27 no son números primos.
ii) Los números M61, M39 y M107 son números primos. 

 
Los números primos de la forma

ahora se conocen como primos de Mersenne.

La búsqueda de primos de Mersenne se ha intensificado gracias al uso de las computadoras. 

 
Actualmente se concocen 47 números primos de Mersenne, el 12 de Abril de 2009 fue descubierto el último primo de Mersenne conocido, el primo es un número de 12837064 dfgitos, sin embargo, no es el primo más grande, pues el primo de Mersenne más grande fue el 46° primo de Mersenne descubierto y tiene 12978189 dígitos.
Paul Bateman, Paul Selfridge y Stan Wagstaff establecieron lo que se conoce como la Nueva Conjetura de Mersenne, que dice así:
Sea p un número primo impar entonces los siguientes dos enunciados son equivalentes: 

 
1. M, es primo.
2. Los siguientes dos enunciados son ambos verdaderos o ambos falsos: 

La pregunta que no puede faltar es ¿Cuántos primos de Mersenne existen? Se ha conjeturado, de manera natural, que existen una infinidad.

 
3. Primos de Sophie Germain

Sophie Germain (1776 — 1831) fue una matemática francesa que hizo grandes aportaciones a la Teoría de Números y estuvo interesada en resolver el último Teorema de Fermat.
Ella demostró en 1823 que si -p- es un primo de la forma p 2q + 1 donde -q- es también un número primo, entonces no hay enteros a, b y c distintos de cero y no hay múltiplos de -p- que cumplan la igualdad

El resultado anterior lo obtuvo en sus intentos por demostrar el Ultimo Teorema de Fermat y se conoce como el “primer caso del Ultimo Teorema de Fermat”.
Los números primos p de la forma p = 2q + 1 donde -q- es también un número primo, se conocen como primos de Sophie Germain.
Los primeros primos de Sophie Germain son:

La lista podría continuar usando los números primos 

q : 41,53,83,89,113,173,179,191,233,251,281

El mayor primo de Sophie Germain conocido a la fecha es el número
48047305725 x 2^172403-1
que tiene 51910 dígitos y fue descubierto el 25 de Enero de 2007. Se ha conjeturado que existe una infinidad de este tipo de primos.

4. Primos de Cullen

Los números de la forma 

fueron estudiados por James Guiten en 1905 y reciben el nombre de números de Guiten. Si un número de Cullen es además un número primo, este recibe el nombre de primo de Guiten. Cullen afirmo que aparte de C1 = 3 y quizá alguna otra excepción todos los números de Cullen para n de O a 100 eran números no primos, la excepción a la que se refería Cullen fue C53, el cual fue descartado como primo por Allan Joseph Gunningham quien descubrió que este número es divisible por 5591. Se ha conjeturado que existen una infinidad de estos primos. 

 
Algunos valores de n para los cuales se obtiene primos de Cullen son:
 

n = 1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419, 361275, 481899...

El primo de Cullen más grande que se conoce es 6679881 x 26679881 + 1, un megaprimo con 2010852 dfgitos y que fue descubierto en Japón en Agosto del 2009. 
 

5. Primos de Wieferich

En 1909 el matemático alemán Arthur Joseph Alwin Wieferich (1884 — 1954) publico el siguiente resultado con respecto al Ultimo Teorema de Fermat: 

El primo p mencionado en el teorema anterior es conocido como primo de Wieferich.
1093 y 3511 son los únicos primos de Wieferich que se conocen, el primero fue descubierto por W. Meissner en 1913 y el segundo por N. G. W. H. Beeper en 1922.
El 9 de Marzo de 2004 Richard Mclntosh completo una búsqueda de primos de Wieferich con un resultado desfavorable, pues no pudo encontrar nuevos primos de este tipo.
Se ha conjeturado que existen un número finito de primos de Wieferich, sin embargo, la conjetura abc en caso de ser cierta, establecerla que existen una infinidad de este tipo de primos. 

6. Primos de Wagstaff

Dentro de la nueva conjetura de Mersenne se mencionan una clase de números primos, los números primos de la forma 

donde q es primo.
 

Estos números primos se conocen como los primos de Wagstaff en honor al matemático Samuel S. Wagstaff Jr.
Los tres primeros primos son 

...683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883 y 2932031007403, son algunos ejemplos más de primos de Wagstaff.

El primo más grande que se conoce de este tipo es

y fue descubierto por Tony Reix en febrero de 2010. Algunos otros exponentes -q- que producen primos de Wagstaff o probables primos son:

3,5,7,11,13,17,19,23,31,43,61,79,101,127,167,191,199,313,347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079,267017,269987,374321,986191,4031399,... 
 

7. Primos de Wilson

Jhon Wilson (1741—1793) estableció en Teorema de Números el conocido Teorema de Wilson, que es utilizado a la hora de decidir si un número es primo o no.
Un número primo de Wilson es un número primo p tal que p^2 divide a 

(p - 1)! + 1.
Actualmente solo se conocen tres números primos de esta clase: 5, 13 y 563 descubiertos por Goldberg en 1953.
Se ha conjeturado que la probabilidad de que un número primo p sea un primo de Wilson es 1/p

8. Primos de Woodall

En 1917 H. J. Woodall introdujo los números que pueden escribirse de la forma

n x 2^n -1

conocidos como números de Woodall.
Si un número de Woodall es además un número primo, este recibe el nombre de primo de Woodall.

Los tres primeros primos de este tipo son: 7, 23 y 383.

Algunos valores de n para los cuales se obtienen primos de Woodall son

n = 2,3,6,30,75,81,115,123,249,...

Se cree que casi todos los números de Woodall son no primos, sin embargo, esto es todavía una conjetura. 

El primo de Woodall más grande que se conoce es el número 

752948 x 23752948 - 1 

el cual tiene 1129757 dígitos y fue descubierto en Diciembre de 2007 por Matthew J. Thompson.
Un hecho curioso es que el primo de Mersenne M521 = 2^521 - 1 puede escribirse también como un primo de Woodall, esto es,

Esta es la colaboración para el IX Carnaval de Matemáticas de Víctor Antonio Aguilar Arteaga UAQ a quién agradezco su colaboración y participación con tan interesante artículo, a la vez que animo a todos a participar aunque no se posea blog como ha hecho Víctor.